BAB I
PENDAHULUAN
Filsafat
matematika bersifat pragmatik-eklektik, artinya perbedaan aliran filsafat tidak
harus menimbulkan perang senjata seperti yang terjadi pada perbedaan madzhab
politik, tetapi cukup diselesaikan dengan perang pena, polemik dan berwacana.
Dengan bercermin
pada filsafat matematika, pekerja matematika (tidak harus matematikawan) dapat
meyakini apakah selama ini dan saat ini telah bekerja pada arah yang benar.
Agar
matematika menjadi satu, utuh dan terpadu maka keberadaan filsafat matematika
menjadi perlu dan mutlak harus ada. Harapan besar dibebankan kepada para
filosof dan matematikawan untuk menjadikan filsafat matematika sebagai
penyusun, penghimpun, dan penertib ilmu matematika yang telah terpecah menjadi
kepingan-kepingan selama berabad-abad, akibat banyaknya kontradiksi yang
mewarnai perkembangan matematika dan meminta untuk diselesaikan.
Bagaimana
matematikawan mengatasi ketiga krisis di atas, adalah dengan melihat dan pergi
ke filsafat matematika, sehingga di dalam matematika dikenal adanya berbagai
aliran (madzhab) filsafat yang dianut dan dikembangkan oleh tokohnya
masing-masing. Filsafat matematika dikembangkan melalui isu-isu eksternal
seperti sejarah, asal-usul, dan praktek matematika dengan isu-isu internal
seperti epistemologi dan ontologi.
Metode
yang digunakan untuk melakukan klasifikasi aliran-aliran dalam filsafat
matematika salah satunya menggunakan kriteria kecukupan filsafat matematika
(Ernest, 1991) yaitu: (1) pengetahuan matematika: sifat, justifikasi, dan asal-usul
pengetahuan, (2) obyek matematika: ruang lingkup dan asal-usul obyek
matematika, (3) aplikasi matematika: efektifitas matematika dalam mengembangkan
sains, teknologi dan aplikasi lainnya, dan (4) praktek matematika: aktifitas
matematikawan, dulu dan sekarang. Aliran-Aliran Filsafat 3 Kriteria tersebut
saat ini melahirkan beberapa aliran filsafat matematika, yaitu Platonisme,
Absolutisme dan Falibilisme. Platonisme lebih menekankan pada tidak adanya
landasan-landasan untuk merekonstruksi dan menyelamatkan matematika, sementara
itu, absolutisme lebih menekankan pada tidak adanya kesalahan pada matematika,
sedangkan falibilisme menekankan pada kemungkinan matematika untuk direvisi
terus-menerus.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
ALIRAN-ALIRAN FILSAFAT DALAM
MATEMATIKA
Ada
beberapa pemikiran atau sering disebut aliran dalam matematika, yang secara
umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi jalan perkembangan matemaika
termasuk perkembangan pendidikan matemtika. Diantaranya yaitu:
1.
Formalisme
Aliran
formalisme dalam matematika dapat dilacak pada Bishop Berkeley, tetapi pencetus
utamanya adalah David Hilbert (1862-1943), pada tahun 1925, diteruskan oleh J.
Von Neumann tahun1931 dan H. Curry tahun 1951. Aliran Formalisme banyak dianut
oleh matematikawan Amerika akibat pengaruh Oswald Veblen dan V.E. Huntington.
Aliran ini sering disebut aliran postulatsional atau aliran aksiomatik dan
dalam pendidikan matematika melahirkan jenis matematika yang disebut matematika
modern (New Math) seperti yang sekarang diberikan di sekolah-sekolah.
Formalisme dibentuk dengan tujuan khusus menyingkirkan semua kontradiksi dalam
matematika, antara lain mengatasi paradok dalam teori himpunan (Paradok
Russel/Paradok Tukang Cukur) dan untuk menyelesaikan tantangan matematika
klasik yang disebabkan oleh kritik kaum Intuisionis. Dengan kata lain aliran
formalisme bertujuan untuk menterjemahkan seluruh matematika ke dalam sistem
formal yang tidak dapat diinterpretasikan (kosong dari arti). Aliran formalisme
menganjurkan pendekatan murni abstrak, berangkat dari prinsip awal, dan
mendeduksi segalanya dari prinsip awal tersebut. Karyakarya yang dihasilkannnya
sama sekali tidak mempunyai (dan memang tidak perlu mempunyai) hubungan dengan
ilmu pengetahuan dan dunia nyata, sesuatu yang sangat membanggakan aliran ini.
Menurut aliran formalisme, matematika sekedar rekayasa simbol berdasarkan
aturan tertentu untuk menghasilkan sebuah sistem pernyataan tautologis, yang
memiliki konsistensi internal, tetapi kosong dari makna. Matematika direduksi
hanya menjadi sebuah permainan intelektual, seperti catur. Dalam bahasa
populer, formalisme memandang matematika sebagai permainan formal penuh makna
yang dimainkan dengan lambang-lambang di atas kertas menggunakan aturan
tertentu. Tesis aliran formalisme ada dua (1) matematika murni dapat
diekspresikan dalam bentuk sistem formal yang kosong dari arti, dan di dalamnya
mengandung kebenaran matematika yang direpresentasikan dalam bentuk teorema
formal, dan Aliran-Aliran Filsafat 41 (2) untuk menunjukkan bahwa sistem formal
yang dibangun bebas dari segala macam kontradiksi dan paradok, digunakan alat
yang disebut meta-matematika dengan cara mendemonstrasikan bahwa term-termnya
bebas dari inkonsisteni. Secara ringkas, tesis kaum Formalis adalah membangun
matematika yang berpusat pada penggunaan sistem lambang formal. Programnya
adalah membangun konsistensi seluruh matematika dengan menggunakan teori bukti.
Tesisnya bahwa matematika harus dikonstruksi kembali atas dasar kaidah
konsistensi dengan lambang-lambang formal, menemukan hasilnya dalam karya
Hilbert, Grundlagen der Mathematik. Kaum formalis memandang matematika sebagai
koleksi perkembangan abstrak, dimana term-term matematika semata-mata hanyalah
lambang-lambang dan pernyataan adalah rumus-rumus yang melibatkan
lambang-lambang tersebut. Dasar untuk aritmatika tidak terletak pada logika
tetapi pada koleksi tanda-tanda pralogis atau lambang-lambang dalam seperangkat
operasi dengan tanda-tanda ini. Oleh karena itu, menurut aliran Formalisme,
matematika kosong dari muatan konkrit dan hanya memuat elemen-elemen lambang
ideal, sehingga membangun kekonsistenan dari berbagai cabang matematika menjadi
sangat penting. Tanpa disertai bukti kekonsistenan, seluruh penyelidikan
matematika tidak berarti sama sekali. Dengan tesis kaum formalis ini,
perkembangan matematika aksiomatis terdorong ke puncak kejayaan tertinggi.
Sebagai akhir dari artikel ini, berikut adalah kritik naratif terhadap filsafat
formalisme. Melalui konsep kekontinuan, kaum Formalis menerima kehadiran
ketakberhinggaan. Persamaan diferensial menyatakan realitas sebagai sebuah
kontinum, sehingga perubahan dalam ruang dan waktu dipahami terjadi secara
mulus dan tak terputus. Akibatnya tidak tersedia ruang untuk perubahanperubahan
yang terjadi secara mendadak. Kontinuitas adalah perubahan yang mulus dan
gradual, bertahap dan tidak mendadak. Dalam persamaan diferensial, waktu
dianggap terbagi dalam serangkaian time-step yang kecil, sebagai suatu
pendekatan terhadap realitas, meskipun kenyataannya tidak ada hal seperti itu
dalam realitas, sebab segalanya mengalir, pantharei, demikian Heraklitus. A.
Prabowo 42 Matematika kurang tepat dalam memodelkan realitas yang segalanya
mengalir dengan persamaan diferensial, sebab tidak ada peristiwa diskontinu di
dalamnya. Diskontinuitas adalah mendadak, dramatis, dimana perubahan kecil pada
sebab dapat mengakibatkan perubahan yang teramat besar pada akibat. Kepak sayap
kupu-kupu di Jamaika menimbulkan badai di Antártika. Masa-masa perubahan yang
lambat, bertahap, tidak terputus tiba-tiba diselingi oleh belokan yang tajam,
patahan kontinuitas, ledakan, bencana, chaos. Peristiwa diskontinu banyak
terjadi di alam nyata. Harga minyak tiba-tiba naik sangat tinggi, tetapi
tiba-tiba juga turun jatuh bebas. Model matematika yang kontinu tidak menangani
masalah yang menyangkut perubahan secara tiba-tiba, sehingga pendekatan
matematika terhadap realitas bersifat kasar. Hasil-hasil perkembangan
matematika kontemporer memperlihatkan adanya perkembangan yang sama sekali
keluar dari jalur formalisme, meskipun hasil-hasil tersebut disajikan dengan
menggunakan logika dalam bentuk sistem aksiomatik milik kaum Formalis. Secara
tidak langsung ini memperlihatkan penerimaan kaum Formalis atas perkembangan
kontemporer matematika atau mengindikasikan telah terjadinya revisi diam-diam
atas fondasi matematika kaum Formalis. Matematika kontemporer sekarang ini
lebih bersahabat dengan aplikasi dan realita keseharian yang begitu
mengharubiru dan menghancurleburkan kehidupan manusia, dan matematika berhasil
memberikan peringatan dini akan realita tersebut sehingga kematian manusia yang
tidak perlu dan kehancuran peradaban dapat diminimalkan. Tsunami, el Nina, el
Nino, gempa bumi berkepanjangan, kejatuhan bursa saham, global warming,
semuanya adalah gejala-gejala diskontinuitas. Fenomena seperti ini dalam
matematika hadir secara nyata dalam chaos dan kompleksitas, perubahan mendadak
yang tidak dapat digambarkan oleh rumus matematika klasik, sebuah perubahan
yang melibatkan patahan-patahan dalam rangkaian perubahan yang kontinum, suatu
bentuk ketakberaturan matematis yang ditemukan dalam dunia nyata.
2.
Logikalisme atau Logisisme
Bertrand
Russell (1872-1979) dan Alfred North Whitehead (1861-1947) merupakan ahli
filsafat dari inggris yang menajdu pioner aliran atay landasan matematika ini.
Didalam bukunya Principia Mathematica (1903)
mereka menjelaskan bahwa semua matematika dapat diturunkan dari prinsip-prinsip
logika. Kebanyakan iede-ide logika juga diterima oleh kaum formalis, tetapi
mereka tidak percaya bahwa matematika dapat diturunkan dari logika saja.
Sementara menurut kaum logisisme, matematika itu tidak lain adalah logika.
Menurut istilah mereka, matematika itu masa dewasa dari logika.
3.
Intuisionisme
Intuisionisme
adalah aliran filsafat dalam tradisi Kant bahwa semua pengetahuan manusia
diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dan diakhiri dengan ide-ide.
Setidaknya untuk semua tujuan praktis, segala sesuatu, termasuk matematika,
hanya ada dalam pikiran. Aliran Intuisionisme mulai dikembangkan sekitar 1908
oleh matematikawan Belanda L.J.W. Brouwer (1882- 1966), meskipun beberapa ide
awal intuisionisme diketahui telah ada, seperti yang dirumuskan Kronecker
(1890-an) dan Poincare antara 1902-1906. L.E.J. Brouwer menyatakan bahwa
matematika adalah kreasi pikiran manusia. Bilangan ibarat karakter dalam cerita
dongeng, hanyalah entitas mental, yang tidak akan pernah ada, kecuali dalam
pikiran manusia yang memikirkannya. Jadi, intuisionisme menolak keberadaan
obyek-obyek dalam matematika. Aliran Intuisionisme tidak memandang kebenaran
matematis sebagai struktur obyektif seperti pendapat aliran Formalisisme dan
Logisisme. Menurut aliran ini, matematika tidak akan dapat seluruhnya
dilambangkan, berpikir matematis tidak tergantung pada bahasa tertentu yang
digunakan untuk mengungkapkannya. Pengetahuan dari proses matematis haruslah
sedemikian sehingga proses itu dapat diperluas hingga tak terbatas. Tesis
aliran Intusionisme adalah matematika harus dibangun semata-mata atas dasar
metode konstruktif finit (dalam sejumlah langkah yang hingga) dengan dasar
barisan bilangan asli yang diketahui secara intuitif. Aliran-Aliran
Filsafat Menurut aliran ini, pada dasar
yang paling dalam terletak intuisi primitif, bersekutu dan bekerja sama dengan
akal duniawi manusia, yang memungkinkan manusia mengangankan suatu obyek
tunggal, kemudian satu lagi, satu lagi dan seterusnya tak berakhir. Dengan cara
ini diperoleh barisan tak berakhir, yang dikenal dengan barisan bilangan alam.
Dengan menggunakan dasar intuitif bilangan asli ini, sebarang obyek matematika
harus dibangun dengan cara konstruktif murni, dengan menggunakan operasi dan
langkah-langkah yang banyaknya berhingga. Bagi kaum Intuisionis, suatu himpunan
tak boleh dipikirkan sebagai koleksi yang telah siap jadi, akan tetapi harus
dipandang sebagai hukum yang elemen-elemennya dapat atau harus dikonstruksi
selangkah demi selangkah. Konsep himpunan seperti ini dapat membebaskan
matematika dari kemungkinan terjadinya kontradiksi, seperti munculnya
kontradiksi pada pernyataan ”himpunan semua himpunan”. Kaum Intuisionis juga
menolak pendapat aliran formalisme bahwa hukum excluded midle dan hukum
kontradiksi adalah ekuivalen. Heyting pada tahun 1939 mulai membangun piranti logis
intuisionis dengan mengembangkan lambang logika kaum intuisionis. Kaum
Intuisionis dengan logika yang dikembangkannya sendiri telah berjaya dengan
berhasil menyusun kembali sebagian besar matematika masa kini, termasuk teori
kekontinuan dan teori himpunan. Namun demikian, akibat dari tesisnya sendiri
terlalu banyak hal menarik dalam matematika yang harus dihilangkan dan
dikorbankan. Kekurangan lainnya, matematika intusionis dianggap sebagai kurang
kuat dibanding matematika klasik, dan dalam banyak hal jauh lebih rumit untuk
berkembang. Kelebihannya, metode intuisionisme diyakini tidak menghasilkan
kontradiksi.
B.
ALIRAN
FILSAFAT MATEMATIKA PADA BUKU MATEMATIKA KELAS VII
Buku
Matematika Kelas VII SMP/MTs Kurikulum 2013 ini ditulis dengan berdasarkan pada
materi dan kompetensi yang disesuaikan dengan standar internasional tersebut. Terkait
materi misalnya, sebagai tambahan, sejak kelas VII telah diajarkan antara lain
tentang bilangan, himpunan, aljabar dan penerapannya, perbandingan, geometri
dan penyajian data. Keseimbangan antara matematika angka dan matematika pola
dan bangun selalu dijaga. Kompetensi pengetahuan bukan hanya sampai memahami
secara konseptual tetapi sampai ke penerapan melalui pengetahuan prosedural
dalam pemecahan masalah matematika. Kompetensi keterampilan berpikir juga
diasah untuk dapat memecahkan masalah yang membutuhkan pemikiran order tinggi
seperti menalar pemecahan masalah melalui pemodelan, pembuktian dan
perkiraan/pendekatan. Setiap awal bab pada buku ini disajikan kover bab. Bagian
ini berisi ilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan dengan materi
bab yang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikan Kompetensi dasar,
indikator dan Pengalaman belajar yang akan kalian capai dalam setiap bab.
Kata-kata kunci merupakan inti dari materi.
1.
Aliran
Formalisme pada buku matematika kelas VII kurikulum 2013
Pada buku matematika kelas VII
kurikulum 2013 terdapat aliran formalisme, yaitu pada halaman 31 tentang
pembagian bilangan bulat. Pada pembagian bilangan bulat, terdapat sistem
aksioma dimana terdapat lambang-lambang formal. Pada gambar dibawah ini,
pembagian bilangan bulat dengan menggunakan simbol-simbol yang abstrak
Kemudian
pada gambar dibawah ini juga menggunakan aliran formalisme yaitu pada pembahasan sifat-sifat operasi
himpunan pada sifat distributif. Pada gambar tersebut, membuktikan sifat
distributif pada himpunan menggunakan lambang-lambang yang abstrak.
2.
Aliran
Logisme pada buku matematika kelas VII
kurikulum 2013
Pada
buku matematika kelas VII kurikulum 2013 terdapat aliran logisme, yaitu pada
halaman 145 tentang kesamaan dua himpunan. Dimana cara mencari dua himpunan yang
sama memerlukan konsep logika.
Kemudian pada halaman
153, penyelesaian contoh dari himpunan menggunakan aliran logisme. Dimana pada
buku tersebut, diberi suatu contoh
kemudian dari contoh tersebut dibuktikan dari aksioma dan kemudian penarikan
kesimpulan secara logika semata.
Contoh aliran logisme
pada buku matematika halaman 153
Diketahui himpunan
dan
. Selidiki apakah
, bagaimana hubungan
dengan himpunan A?
Dari contoh diatas tersebut,
dipenyelesaiannya akan melahirkan sebuah kesimpulan secara logika. Dimana cara
penyelesaiannya yaitu:
Untuk menyelidiki apakah
, kita lakukan langkah berikut ini:
Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan
A ada di himpunan B yaaitu:
dan
dan
dan
dan
.
Karena keseluruhan anggota himpunan A
merupakan anggota himpunan B, maka disimpulkan
Hubungan
dengan himpunan A
Karena
dan
dan
dan
dan
.
Maka
Ternyata
Berdasarkan keterangan diatas, dapat
disimpulkan bahwa
Misalkan
A dan B adalah dua himpunan tak kosong. Jika
maka
Pada
gambar di atas juga merupakan pembelajaran menggunakan aliran logisme, dimana
cara menyelesaikan banyaknya himpunan bagian dengan pola bilangan pada segitiga
pascal memerlukan logika yang tinggi.
3.
Aliran
Intuisionisme pada buku matematika kelas
VII kurikulum 2013
Pada buku matematika kelas VII kurikulum 2013
terdapat aliran formalisme, yaitu pada halaman 81 tentang Aritmatika Sosial. Pada Aritmatika Sosial,
terdapat masalah yang harus
diselesaikan siswa sebagai
berikut:
Dalam buku ini pada awal setiap BAB dimulai
dengan pemberian masalah kepada siswa untuk dicari solusi/penyelesaiannya
dengan cara siswa tersebut. Dapat dilihat bahwa buku ini menekankan pada proses
siswa dalam menjawab soal tersebut dan memikirkan jawaban yang mungkin, bukan
dengan meminta siswa untuk menyelesaikan suatu masalah dengan rumus atau aturan
tertentu.
DAFTAR PUSTAKA
Ernest, Paul. 1991. The Philosophy Of Mathematics Education. London:
The Falmer Press
As’ari, R, A, dkk.
2014. Matematika Kelas VII
SMP/MTs Edisi Revisi. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudyaan
No comments:
Post a Comment